Question

如图，设抛物线y²=2p(x+)(p＞0)的准线和焦点分别是双曲线的右准线和右焦点，直线y=kx与抛物线及双曲线在第一象限分别交于点A、B，且A为线段OB的中点(O为坐标原点).

(Ⅰ)当k=时，求双曲线渐近线的斜率；

(Ⅱ)设抛物线的顶点为M，抛物线与直线y=kx的另一交点为C，是否存在实数k，使得△ACM的面积等于直线MA、MC的斜率的乘积的绝对值？若存在，求出k值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：抛物线y²=2p(x+)的焦点为(0,0),准线为x=-p 

(Ⅰ)解法一:由得点A的坐标为(p,2p)

∵A是线段OB中点,∴点B的坐标为(3p,4p) 

设点B到准线的距离为|BH|,则由双曲线定义得：

e=.∴

∴双曲线的渐近线斜率为±± 

解法二：同解法一得点B的坐标(3p,4p)  .

设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)

∵点B在双曲线上,又p=c-

∴=1

化简得：(3b²+c²)²-16a²b²=a²c²∵c²=a²+b²,∴(4b²+a²)²-16a²b²=a²(a²+b²)

化简整理得：16b²-9a²=0,∴±即双曲线的渐近线斜率为±

(Ⅱ)抛物线顶点坐标为(-,0)设直线y=kx与抛物线交点坐标为A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)

由得：y²--p²=0

y₁·y₂=-p²,y₁+y₂=

k_MA·k_MC===-4

S_△MAC=S_△MOA+S_△MOC=|OM|·(|y₁|+|y₂|)

==  

由题意知若存在满足条件的实数k,则=4,即(64-p⁴)k²=p⁴

∴当64-p⁴＞0,即0＜p＜时,存在满足条件的实数k=;

64-p⁴≤0,即p≥时,(64-p⁴)k²=p⁴无实数解,则此时不存在满足条件的实数k