Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于

10

时，求k的值．

Answer 1

（1）由方程y²=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky²+y-k=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由韦达定理y₁•y₂=-1．
∵A、B在抛物线y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²•y₂²=x₁x₂．
∵k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

=-1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=

1

2

|ON||y₁|+

1

2

|ON||y₂|
=

1

2

|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=

1

2

•1•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

( 1 k )2+4

．
∵S_△OAB=

10

，
∴

10

=

1

2

1 k2 +4

．解得k=±

1

6

．