Question

12．已知函数f（x）=2e^x+2ax-a²，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥x²-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析，a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在R上单调递增，无极值；当a＜0时，由分别由f'（x）＞0和f'（x）＜0求得x的取值范围，得到原函数的单调区间并求得极值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²+3=2e^x-（x-a）²+3，x≥0，求其导函数，由导函数的导数恒大于等于0可得导函数单调递增，然后对a分类分析求解实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=2e^x+2a，
①a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在R上单调递增，无极值；
②当a＜0时，由f'（x）＞0，得x＞ln（-a）；
由f'（x）＜0，得x＜ln（-a），此时f（x）在（-∞，ln（-a））上递减，在[ln（-a），+∞）上递增．
在x=ln（-a）处取得极小值，f（x）_极小=f（ln（-a））=2aln（-a）-2a-a² ．
综上可得：a≥0时，单调递增区间为（-∞，+∞），无极值；a＜0时，单调递减区间为（-∞，ln（-a）），
递增区间为[ln（-a），+∞），在x=ln（-a）处取得极小值，f（x）_极小=f（ln（-a））=2aln（-a）-2a-a²，无极大值．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²+3=2e^x-（x-a）²+3，x≥0，
则g′（x）=2（e^x-x+a），
又令h（x）=2（e^x-x+a），则h′（x）=2（e^x-1）≥0，
∴h（x）在[0，+∞）上递增，且h（0）=2（a+1）．
①当a≥-1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上递增，
从而须满足g（0）=5-a²≥0，解得$-\sqrt{5}≤a≤\sqrt{5}$，
又a≥-1，∴$-1≤a≤\sqrt{5}$；
②当a＜-1时，则?x₀＞0，使h（x₀）=0，且x∈（0，x₀）时，h（x）＜0，
即g′（x）＜0，即g（x）递减，x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，即g（x）递增．
∴$g（x）_{min}=g（{x}_{0}）=2{e}^{{x}_{0}}-（{x}_{0}-a）^{2}+3≥0$，又$h（{x}_{0}）=2（{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}+a）=0$，
从而$2{e}^{{x}_{0}}-（{e}^{{x}_{0}}）^{2}+3≥0$，解得0＜x₀≤ln3，
由${e}^{{x}_{0}}={x}_{0}-a$⇒$a={x}_{0}-{e}^{{x}_{0}}$，
令M（x）=x-e^x，0＜x≤ln3，
则M′（x）=1-e^x＜0，
∴M（x）在（0，ln3]上递减，
则M（x）≥M（ln3）=ln3-3，又M（x）＜M（0）=-1，
故 ln3-3≤a＜-1，
综上ln3-3≤a≤5．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．