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设函数f(x)=
(x-a)2x

(I)证明:0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件;
(II)若x∈(-∞,0)时,满足f(x)<2a2-6恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(I)先求函数的导函数f′(x),证明当0<a<1时,f′(x)>0,从而证明了充分性,再由若函数f(x)在区间(1,2)上递增,则a的范围包含(0,1),即证明了不必要性
(II)先将恒成立问题转化为求函数f(x)在区间(-∞,0)上的最大值问题,再分a>0,a=0,a<0三种情况利用导数求函数的最大值,由最大值小于2a2-6,解得a的范围
解答:解:(I)对函数)f(x)=
(x-a)2
x
求导,得 
 f′(x)=
2(x-a)x-(x-a)2
x2
=
x2-a2
x2
=
(x-a)(x+a)
x2

先证充分性:若0<a<1,
∵1<x<2,∴x-a>0,x+a>0,
∴f'(x)>0
∴函数f(x)在区间(1,2)上递增.
再说明非必要性:∵f(x)在区间(1,2)上递增,
∴f'(x)≥0对1<x<2恒成立
x2-a2
x2
≥0
对1<x<2恒成立,
x2-a2≥0对1<x<2恒成立,
即a2≤x2对1<x<2恒成立,
∵1<x<2,∴1<x2<4,
∴a2≤1,即-1≤a≤1.即推不出0<a<1.
∴0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件 
(II)由(I)知f′(x)=
x2-a2
x2
=
(x-a)(x+a)
x2

令f'(x)=0,得x1=a,x2=-a
①当a=0时,f(x)=x,x∈(-∞,0)时,f(x)<-6不能恒成立,不符合题意.
②当a>0时,函数y=f(x)在(-∞,-a)上递增,在(-a,0)上递减,
∴函数y=f(x)在(-∞,0)上的极大值为f(-a)
若x∈(-∞,0)时,f(x)<2a2-6恒成立,
则需f(x)极大值=f(-a)<2a2-6
即-4a<2a2-6,
解得a>1.
③当a<0时,函数y=f(x)在(-∞,a)上递增,在(a,0)上递减,
∴函数y=f(x)在(-∞,0)上的极大值为f(a)
此时x∈(-∞,0),
若满足f(x)<2a2-6恒成立,
则需f(x)极大值=f(a)=0<2a2-6
解得a<-
3

故若x∈(-∞,0)时,满足f(x)<2a2-6恒成立,实数a∈(-∞,-
3
)∪(1,+∞)
点评:本题考查了导数在函数单调性中的应用,导数在函数求最值中的应用,不等式恒成立问题的解法,充要条件的证明
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设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx,g(x)=
2e
x
(p是实数,e为自然对数的底数)
(1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(2)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p的值;
(3)若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D),有x+l∈D,且f(x+1)≥f(x),则称f(x)为M上的高调函数.现给出下列三个命题:
①函数f(x)=(
12
)x
为R上的l高调函数;
②函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数;
③如果定义域是[-1,+∞)的函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m高调函数,那么实数m的取值范围[2,+∞);
其中正确的命题是
②③
②③
(填序号)

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设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x)恒成立;当x∈[0,1]时,f(x)=x3-4x+3.有下列命题:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
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④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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