Question

三棱锥A-BCD中，以A为顶点的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，

2

，

6

．该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（　　）

Answer 1

分析：根据三棱锥三条侧棱两两垂直，三棱锥的四个顶点在同一个球面上，构造长方体，根据长方体的体对角线和球直径之间的关系即可求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答：解：三棱锥A-BCD中，以A为顶点的三条侧棱两两垂直，且其长分别为1，

2

，

6

．
∵三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是长方体的一个角，则构造长方体，
∴三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，
即长方体的体对角线就是球的直径，
∴长方体的体对角线长

12+( 2 )2+( 6 )2

=

1+2+6

=

9

=3，
即球的直径为2r=3，解得半径为r=

3

2

，
∴外接球的表面积为：4π×（

3

2

）²=9π
故选A．

点评：本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，构造长方体是解决本题的关键，要求熟练掌握球的表面积公式．