Question

【题目】在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面底面， ， 分别为， 的中点.

（Ⅰ）求证： .

（Ⅱ）求证：平面平面.

（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)侧棱上存在点，使得平面，且．

【解析】试题分析：（1）要证，只需证明平面即可；（2）连结,因为四边形为菱形，所以,因为分别为的中点，所以，且，由（1）知平面,进而证得平面，从而证的平面平面；（3）设与的交点分别为连结，因为四边形为菱形， 分别为的中点，所以，设为上靠近点三等分点，则，所以,进而得到平面．

试题解析：解：（1）因为为等边三角形, 为的中点,

所以又因为平面平面,

平面平面, 平面,所以平面,

又因为平面,所以.

（2）连结,因为四边形为菱形，所以,因为分别为的中点,

所以，由（1）知平面,平面,

平面,

又因为平面,所以平面平面.

（3）当点为上的三等分点（靠近点）时, 平面.

证明如下：设与的交点分别为连结.因为四边形为菱形,

分别为的中点,所以,设为上靠近点三等分点，

则,所以,因为平面平面

平面.由于平面平面平面,即平面, ,所以平面平面,

平面平面.可见侧棱上存在点,使得平面,

且.