Question

3．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若a=2，解不等式：xf（x）＜x；
（2）若f（x）+f（x+2a）≥|a|-|a-1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值符合，等价转化，即可解不等式；
（2）f（x）+f（x+2a）≥|a|-|a-1|+3对任意的实数x恒成立，可化为|x-a|+|x+a|≥|a|-|a-1|+3对任意的实数x恒成立，利用三角不等式，可得|a|+|a-1|≥3，利用零点分段，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=2，原不等式可化为$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{（x-2）x＜x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{-（x-2）x＜x}\end{array}\right.$，
∴x＜0或1＜x＜3，
∴不等式的解集为{x|x＜0或1＜x＜3}；
（2）f（x）+f（x+2a）≥|a|-|a-1|+3对任意的实数x恒成立，
可化为|x-a|+|x+a|≥|a|-|a-1|+3对任意的实数x恒成立，
∵|x-a|+|x+a|≥|2a，
∴2a≥|a|-|a-1|+3，
∴|a|+|a-1|≥3．
a＜0时，-a-a+1≥3，
∴a≤-1；
0≤a≤1时，a-a+1≥3，不成立；
a＞1时，a+a-1≥3，
∴a≥2．
综上所述，a≤-1或a≥2．

点评 本题考查绝对值函数，考查三角不等式的运用，考查学生的计算能力，正确转化是关键．