Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=$\frac{a^2}{c}$与其渐近线交于A、B两点，且△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用直线x=$\frac{a^2}{c}$与其渐近线交于A、B两点，求出A，B的坐标，根据△ABF为直角三角形，建立方程，求出双曲线的离心率．

解答 解：∵直线x=$\frac{a^2}{c}$与其渐近线交于A、B两点，
∴A（$\frac{a^2}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{a^2}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
∵△ABF为直角三角形，
∴c-$\frac{a^2}{c}$=$\frac{ab}{c}$，
∴a=b，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定A，B的坐标是关键．