Question

7．在△ABC中，B=60°，AC=$\sqrt{3}$，求
（1）△ABC面积的最大值；
（2）△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理与基本不等式的性质可得ac的最大值，即可得出三角形面积的最大值．
（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）∵$（\sqrt{3}）^{2}$=a²+c²-2accos60°≥2ac-ac=ac，可得ac≤3，当且仅当a=c=$\sqrt{3}$时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsin6{0}^{°}$≤$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{c}{sinC}$，可得a=2sinA，c=2sinC．
△ABC周长=2sinA+2sinC+$\sqrt{3}$=2sinA+2sin（120^°-A）+$\sqrt{3}$=3sinA+$\sqrt{3}$cosA+$\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA）$+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（A+30^°）+$\sqrt{3}$，
∵A∈（0^°，120^°），∴（A+30^°）∈（30^°，150^°），∴sin（A+30^°）∈$（\frac{1}{2}，1]$，
∴△ABC的周长的最大值为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．