Question

11．已知抛物线C的准线为x=-1．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）斜率为$\sqrt{3}$的直线l过抛物线C的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出抛物线C的标准方程，利用已知条件求解p，即可得到结果；
（Ⅱ）求出直线AB的方程，利用韦达定理转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px （p＞0）（2分）
∵准线为x=-1，∴$\frac{p}{2}$=1，p=2，
则抛物线的方程为y²=4x；（5分）
（Ⅱ）由题意，得直线AB的方程为$y=\sqrt{3}（x-1）$，（6分）
代入y²=4x得：3x²-10x+3=0 （8分）
设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁x₂=1 （10分）
|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3}$（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．