Question

18．对于给定的实数k＞0，函数f（x）=$\frac{k}{x}$的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，1为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于2，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于2，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答 解：根据题意得：|OC|＜1+1=2，
设C（x，$\frac{k}{x}$），
∵|OC|=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}}$≥$\sqrt{2k}$，
∴$\sqrt{2k}$＜2，即0＜k＜2，
则k的范围为（0，2）．
故答案为：（0，2）．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，1为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于2．