Question

6．古代数学家杨辉在沈括的隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a个球组成，以下各层的长、宽依次各增加过一个球，共有n层，最下层（即下底）由b×b个球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下：S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$），根据以上材料，我们可得1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 取a=1，b=n，代入公式S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$），即可得出．

解答 解：取a=1，b=n，
则可得1²+2²+…+n²=$\frac{n}{3}$×$（1+{n}^{2}+n+\frac{n-1}{2}）$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
故答案为：$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 本题考查了杨辉求方垛中圆球总数的公式、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．