Question

（2013•杭州二模）已知双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，A，B是双曲线的两个顶点．P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上．P关于y轴的对称点是Q，若直线AP，BQ的斜率分别是k₁，k₂，
且k₁•k₂=-

4

5

，则双曲线的离心率是（　　）

• A．

  3 5

  5

• B．

  9

  4

• C．

  3

  2

• D．

  9

  5

Answer 1

分析：设P（m，n），则Q（-m，n），利用直线的斜率公式算出k₁、k₂关于m、n、a的式子，得到关于m、n、a的等式并利用双曲线方程化简得-

a2

b2

=-

4

5

，化简可得a=

2

3

c，即可算出双曲线的离心率．

解答：解：设P（m，n），则Q（-m，n）
∵A、B是双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个顶点，
∴A（0，-a），B（0，a），
可得AP斜率k₁=

n+a

m

，BQ的斜率k₂=

n-a

-m

∴k₁•k₂=

n+a

m

•

n-a

-m

=-

4

5

，即

a2-n2

m2

=-

4

5

，
∵点P（m，n）在双曲线上，可得m2=b2(

n2

a2

-1)=

b2

a2

(n2-a2)，
∴

a2-n2

m2

=

a2-n2

b2 a2  (n2-a2)

=-

4

5

，即-

a2

b2

=-

4

5

由此可得5a²=4b²=4（c²-a²），解之得a=

2

3

c．
∴双曲线的离心率是e=

c

a

=

3

2

．
故选：C

点评：本题着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线的斜率公式和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．