Question

已知k∈R，函数f（x）=a^x+k•b^x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1）．
（Ⅰ）如果实数a，b满足a＞1且ab=1，函数f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k值；如果没有，说明原因．
（Ⅱ）如果a=4，b=

1

2

，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当ab=1时，b=a^-1，f（x）=a^x+k•a^-x，f（-x）=a^-x+k•a^x，利用奇偶函数的定义可求得k值；
（Ⅱ）当a=4，b=

1

2

时求出f′（x），分k≤0，k＞0两种情况进行讨论，解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可得到函数单调区间；

解答：解：（Ⅰ）当ab=1时，b=a^-1，f（x）=a^x+k•a^-x，f（-x）=a^-x+k•a^x，
①若函数f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x），即a^x+k•a^-x=-（a^-x+k•a^x），
整理得，（k+1）（a^x+a^-x）=0，得k=-1；
②若函数f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x），即a^x+k•a^-x=a^-x+k•a^x，
整理得，（k-1）（a^-x-a^x）=0，得k=1．
（Ⅱ）当a=4，b=

1

2

时，f(x)=4x+k•(

1

2

)x，f′(x)=4xln4+k(

1

2

)xln

1

2

=ln2[2•4^x-k(

1

2

)x]，
①当k≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）递增；
②当k＞0时，若f'（x）＞0，则2•4x-k(

1

2

)x＞0，解得x＞

log2k-1

3

；
若f'（x）＜0，则2•4x-k(

1

2

)x＜0，解得x＜

log2k-1

3

；
∴f（x）的增区间为(

log2k-1

3

，+∞)，减区间为(-∞，

log2k-1

3

)，
综上：k≤0时，f（x）在（-∞，+∞）递增；k＞0时，减区间为(-∞，

log2k-1

3

)，增区间为(

log2k-1

3

，+∞)．

点评：本题考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，属中档题，定义是解决函数奇偶性的常用方法，导数是研究函数的有力工具，要熟练应用．