解:(1)当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33068.png)
时,函数
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33069.png)
…(1分)
令t=2
x(t>0),则原函数变为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33070.png)
由条件知,当t∈(0,1]时,y单调递减.此时x∈(-∞,0],且t=2
x在(-∞,0]上单调递增.
所以有函数
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33069.png)
在(-∞,0]上单调递减.…(3分)
当t∈[1,+∞)时,y单调递增.此时x∈[0,+∞),且t=2
x在[0,+∞)上单调递增.
所以有函数
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33069.png)
在(-∞,0]上单调递增.…(3分)
综上,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33069.png)
在(-∞,0]上单调递减,在(-∞,0]上单调递增. …(1分)
(2)由题意,ab=1,所以有
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33071.png)
①若f(x)为奇函数,则有f(-x)=-f(x),即a
-x+kb
-x=-(a
x+kb
x),
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33072.png)
,得b
x+ka
x=-(a
x+kb
x),
整理得(1+k)(b
x+a
x)=0,所以有1+k=0,得k=-1…(3分)
②若f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x),即a
-x+kb
-x=a
x+kb
x,
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33073.png)
,得b
x+ka
x=a
x+kb
x,所以得k=1…(3分)
综上有,k=-1时,f(x)为奇函数,k=1时,f(x)为偶函数.…(1分)
分析:(1)将a,b的值代入,得到
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33069.png)
,换元,令t=2
x,根据
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33070.png)
的单调区间判断函数的单调区间.
(2)根据奇函数偶函数的概念,代入f(x),化简整理,求得k的值.
点评:本题考查了复合函数的单调性以及函数的奇偶性,中间用到了换元法,是中档题.