Question

已知k∈R，函数f（x）=m^x+kn^x（0＜m≠1，n≠1）．
（1）如果实数m，n满足m＞1，mn=1，函数f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k值，如果没有，说明为什么？
（2）如果m＞1＞n＞0判断函数f（x）的单调性；
（3）如果m=2，n=

1

2

，且k≠0，求函数y=f（x）的对称轴或对称中心．

Answer 1

分析：（1）如果f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，转化成（n^x-m^x）（k-1）=0，根据n^x-m^x=0不恒成立，可求出k的值，如果f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，可转化成（n^x+m^x）（k+1）=0，根据n^x+m^x=0不恒成立，可求出k的值；
（2）根据m＞1＞n＞0，则

m

n

＞1，当k≤0时，显然f（x）=m^x+kn^x在R上为增函数，当k＞0时，求出导函数f'（x），令f'（x）=0求出极值点，从而求出函数的单调区间；
（3）当m=2，n=

1

2

时，f（x）=2^x+k2^-x，如果k＜0，根据f（log₂（-k）-x）=-f（x）得到函数y=f（x）有对称中心（

1

2

log₂（-k），0），如果k＞0，根据f（log₂k-x）=f（x）得到函数y=f（x）有对称轴x=

1

2

log₂k．

解答：（本题满分16分）
解：（1）如果f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，（1分）
即：n^x+km^x=m^x+kn^x，（n^x-m^x）+k（m^x-n^x）=0，则 （n^x-m^x）（k-1）=0（2分）
由n^x-m^x=0不恒成立，得k=1（3分）
如果f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，（4分）
即：n^x+km^x=-m^x-kn^x，（n^x+m^x）+k（m^x+n^x）=0，则 （n^x+m^x）（k+1）=0（5分）
由n^x+m^x=0不恒成立，得k=-1（6分）
（2）m＞1＞n＞0，则

m

n

＞1，
∴当k≤0时，显然f（x）=m^x+kn^x在R上为增函数；（8分）
当k＞0时，f'（x）=m^xlnm+kn^xlnn=[(

m

n

)xlnm+klnn]n^x=0，
由n^x＞0得(

m

n

)xlnm+klnn=0得(

m

n

)x=-k

lnn

lnm

=-klog_mn得x=log

m

n

(-klogmn)．（9分）
∴当x∈（-∞，log

m

n

(-klogmn)]时，f'（x）＜0，f（x）为减函数； （10分）
当x∈[log

m

n

(-klogmn)，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．（11分）
（3）当m=2，n=

1

2

时，f（x）=2^x+k2^-x
如果k＜0，f（x）=2^x+k2^-x=2^x-（-k）2^-x=2^x-2log2(-k)-x，（13分）
则f（log₂（-k）-x）=-f（x）∴函数y=f（x）有对称中心（

1

2

log₂（-k），0）（14分）
如果k＞0，f（x）=2^x+k2^-x=2^x+2log2k-x，（15分）
则f（log₂k-x）=f（x）
∴函数y=f（x）有对称轴x=

1

2

log₂k．（16分）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及利用导数研究函数的单调性和图形的对称性，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于难题．