Question

（2011•许昌三模）已知过原点的直线与函数y=|sinx|（x≥0）的图象有且只有三个交点，a是交点中横坐标的最大值，则

(1+a2)sin2a

2a

的值为

1

．

Answer 1

分析：依题意，过原点的直线与函数y=|sinx|（x≥0）在区间（π，2π）内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得α=tanα，代入所求关系式即可求得答案．

解答：解：因为过原点的直线与函数y=|sinx|（x≥0）的图象有且只有三个交点，
所以直线与函数y=|sinx|（x≥0）在区间（π，2π）内的图象相切，
在区间（π，2π）上，y的解析式为y=-sinx，
故由题意切点坐标为（α，-sinα），
∴切线斜率k=y′=-cosx|_x=α=-cosα，
∴由点斜式得切线方程为：
y+sinα=-cosα（x-α），
∴y=-cosαx+αcosα-sinα，
∵直线过原点，
∴αcosα-sinα=0，得α=tanα．
∴

(1+α2)sin2α

2α

=

(1+tan2α)sin2α

2tanα

=

(1+ sin2α cos2α )×2sinαcosα

2× sinα cosα

=（1+

sin2α

cos2α

）×cos²α=cos²α+sin²α=1．
故答案为1

点评：本题考查直线与正弦曲线的交点，考查导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，求得α=tanα是关键，考查三角函数间的关系的综合应用，属于难题．