Question

20．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1-x），则f（x）的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＞0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 设x＜0、则-x＞0，根据题意和奇函数的性质f（x）=-f（-x），求出x＜0时函数的表达式，由奇函数的性质求出f（0）=0，用分段函数形式表示出f（x）．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x（1-x），
∴f（-x）=-x（1+x），
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x（1+x），
由f（-0）=-f（0）得，f（0）=0，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＞0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＜0}\end{array}\right.$，
故答案为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＞0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，注意函数的定义域是R，不用漏掉对x=0时的考虑．