Question

若x=

π

6

是函数f（x）=

3

sinωx+cosωx图象的一条对称轴，当ω取最小正数时（　　）

• A．f（x）在（0，

  π

  6

  ）单调递增
• B．f（x）在（-

  π

  3

  ，-

  π

  6

  ）单调递减
• C．f（x）在（-

  π

  6

  ，0）单调递减
• D．f（x）在（

  π

  6

  ，

  π

  3

  ）单调递增

Answer 1

分析：利用辅助角公式将f（x）=

3

sinωx+cosωx化为f（x）=2sin（ωx+

π

6

），结合题意可求得ω的关系式，继而可求得ω，从而可判断函数的单调性．

解答：解：∵f（x）=

3

sinωx+cosωx
=2sin（ωx+

π

6

），
又x=

π

6

是f（x）=2sin（ωx+

π

6

）的图象的一条对称轴，
∴ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴ω=6k+2，k∈Z，
又ω取最小正数，
∴k=0，ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得：
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z．
显然，当k=0时，（0，

π

6

）⊆[-

π

3

，

π

6

]．
故A正确，D不正确；
同理可求，f（x）=2sin（2x+

π

6

）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]k∈Z．
当k=-1时，其递减区间为[-

5π

6

，-

π

3

]，当k=0时，其递减区间为[

π

6

，

2π

3

]，
显然B，C都不符合题意．
故选A．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的对称性与单调性，求得ω的值是关键，也是难点，属于中档题．