Question

若x=

π

6

是函数f(x)=

3

sinωx+cosωx图象的一条对称轴，当ω取最小正数时（　　）

• A．f（x）在(-

  π

  3

  ，-

  π

  6

  )单调递减
• B．f（x）在(

  π

  6

  ，

  π

  3

  )单调递增
• C．f（x）在(-

  π

  6

  ，0)单调递减
• D．f（x）在(0，

  π

  6

  )单调递增

Answer 1

分析：利用辅助角公式，将函数合并为f（x）=2sin（ωx+

π

6

），根据正弦曲线对称轴方程的公式，结合题意得ω=2+6kπ，从而得到ω的最小正数值为2，得到函数的表达式，再结合正弦函数的单调性得到它的单调区间，对照各选项可得正确答案．

解答：解：f(x)=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

）
∴函数f（x）图象的对称轴方程：ωx+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z）
∵x=

π

6

是f（x）图象的一条对称轴，
∴ω

π

6

+

π

6

=

π

2

+2kπ，得ω=2+6kπ，（k∈Z）
当k=0时，ω取最小正数2，此时f（x）=（2x+

π

6

）
∴f（x）的单调增区间为（-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ），单调减区间为（

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ）
对照ABCD各选项，可知只有D符合题意
故选：D

点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴，求ω取最小正值时函数的单调区间，着重考查了辅助角公式和正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．