Question

8．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm．
（1）求矩形铁皮上边的最小值；
（2）求该铁桶的容积．

Answer 1

分析 （1）设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，根据相似三角形的性质，求出α，x的值，可得答案；
（2）根据已知求出圆台的高，代入圆台体积公式，可得答案．

解答 解：（1）如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，

由三角形相似可得$\frac{x}{x+48}$=$\frac{16}{24}$，
解得x=96 cm．
则$\frac{2π×24}{2π（96+48）}$=$\frac{α}{360°}$，
解得α=60°，
所以△BOB′为正三角形，那么BB′=OB=96+48=144 cm．
由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．

（2）∵圆台的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm．
∴圆台的高h=$\sqrt{{48}^{2}-（24-16）^{2}}$=8$\sqrt{35}$cm，
故圆台的体积V=$\frac{1}{3}π$（24²+16²+24×16）×8$\sqrt{35}$=$\frac{9728}{3}\sqrt{35}$πcm³，
即该铁桶的容积为$\frac{9728}{3}\sqrt{35}$πcm³．

点评 本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台的展开图及相应的体积表面积公式，是解答的关键．