Question

17．奇函数f（x）=$\frac{m-g（x）}{n+g（x）}$的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数，且过点（2，9）
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（Ⅲ）若对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出g（x），再利用奇函数f（x）=$\frac{m-g（x）}{n+g（x）}$的定义域为R求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，讨论判断符号、下结论；
（Ⅲ）根据奇函数的定义将不等式转化，再分离函数解析式，求最小值，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设g（x）=a^x，过点（2，9），∴a=3，
∵奇函数f（x）=$\frac{m-g（x）}{n+g（x）}$的定义域为R，
∴f（-x）=$\frac{m-{3}^{-x}}{n+{3}^{-x}}$=-$\frac{m-{3}^{x}}{n+{3}^{x}}$，
∴m=1，n=1，
∴f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$；
（Ⅱ）函数f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$在R上是单调递减函数．
f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{3}^{x}}$
设x₁＜x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1+{3}^{{x}_{1}}}$-$\frac{2}{1+{3}^{{x}_{2}}}$=2•$\frac{{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}}{（1+{3}^{{x}_{1}}）（1+{3}^{{x}_{2}}）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0，可化为t²+2t+k＜2t²-2t+5
即k＜t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0恒成立，
∴k＜1．

点评 本题主要考查了奇函数的定义的灵活应用，以及分离常数法，复合函数和指数函数单调性的应用，二次函数的性质的应用，较综合，但难度不大，属于中档题．