Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  2e-5

  e-1

  ]
• B、（-∞，

  2e-2

  e

  ]
• C、（

  2e-2

  e

  ，2）
• D、[

  2e-5

  e-1

  ，

  2e-2

  e

  ）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：根据若对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．

解答： 解：∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
f′(x)=2-a-

2

x

=

(2-a)(x- 2 2-a )

x

，x∈(0，e]，
当x=

2

2-a

时，f′（x）=0，f（x）在x=

2

2-a

处取得最小值f(

2

2-a

)=a-2ln

2

2-a

，
由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以0＜

2

2-a

＜e，解得a＜

2e-2

e

，
所以对任意给定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，
当且仅当a满足条件f(

2

2-a

)≤0且f（e）≥1
因为f（1）=0，所以f(

2

2-a

)≤0恒成立，由f（e）≥1解得a≤

2e-5

e-1

综上所述，a的取值范围是(-∞，

2e-5

e-1

]．
故选：A．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．