Question

19．已知函数f（x）=lnx与g（x）=a-x（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的图象上恰好存在唯一一个关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [1，e-1]
• B． {1}∪（$\frac{1}{e}$+1，e-1]
• C． [1，$\frac{1}{e}$+1]
• D． （$\frac{1}{e}$+1，e-1]

Answer 1

分析 根据题意便可知道方程lnx=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上有唯一的解，进而可看成y=lnx与y=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上存在唯一的公共点，并可画出图象，容易求出两函数图象相切时，a=1，并可求出当直线y=x-a过$A（\frac{1}{e}，-1）$，B（e，1）时a的值，这样便可结合图象求出实数a的取值范围．

解答 解：据题意，两个函数图象上恰好存在唯一一个关于x轴对称的点，
即点（x，y）与（x，-y）分别在两个函数图象上，且唯一；
又$\frac{1}{e}≤x≤e$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{y=f（x）=lnx}\\{y=-g（x）=x-a}\end{array}\right.$，即方程，lnx=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上有唯一一解；
∴可化归为y=lnx的图象和直线y=x-a当$x∈[\frac{1}{e}，e]$时有唯一的公共点；
如图，

①当两函数图象相切时，设切点（x₀，y₀），$y′=（lnx）′=\frac{1}{x}$；
∴$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}=1$，x₀=1；
∴切点为（1，0），带入直线方程得a=1；
②当直线y=x-a过点$A（\frac{1}{e}，-1）$时，a=$\frac{1}{e}+1$，当直线y=x-a过点B（e，1）时，a=e-1，
结合图象可知恰好存在唯一一个关于x轴对称的点，则：a=1或$\frac{1}{e}+1＜a≤e-1$．
故选B．

点评 考查关于x轴对称的点的坐标关系，以及方程的解和对应函数图象的关系，函数在图象上一点的导数值和过该点切线斜率的关系，以及数形结合解决问题的方法．