Question

9．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax}{{e}^{x}}$（a∈R）．
（1）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[2，+∞） 上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a的值，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程即可；
（2）令g（x）=-x²+（2-a）x+a，得到当x≥2时a≥$\frac{{-x}^{2}+2x}{x-1}$，令h（x）=$\frac{{-x}^{2}+2x}{x-1}$=-（x-1）+$\frac{1}{x-1}$，通过换元法结合函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（2-a）x+a}{{e}^{x}}$，
依条件f′（0）=0，
∴a=0，
此时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{-x（x-2）}{{e}^{x}}$，
∴f′（1）=$\frac{1}{e}$，切点（1，$\frac{1}{e}$），
∴切线方程为：x-ey=0；
（2）令g（x）=-x²+（2-a）x+a，
依条件g（x）≤0在[2，+∞）上恒成立，
∴-x²+（2-a）x+a≤0，
∴（x-1）a≥-x²+2x，
当x≥2时a≥$\frac{{-x}^{2}+2x}{x-1}$，
令h（x）=$\frac{{-x}^{2}+2x}{x-1}$=-（x-1）+$\frac{1}{x-1}$，
令x-1=t（t≥1），
∴h（x）=-t+$\frac{1}{t}$=F（t），
F′（t）=-1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴F（t）在（1，+∞）递减，
∴h（x）_max=F（1）=0，
∴a≥0．

点评 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力