Question

18．如图，AA₁，BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，且AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=2．
（ I）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-B₁DE的体积．

Answer 1

分析 （I）利用线面平行的判定定理证明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）根据三棱锥A₁-B₁DE的体积=三棱锥E-A₁B₁D的体积，利用锥体的体积公式求体积．

解答 （I）证明：连结EO，OA．
∵E，O分别为B₁C，BC的中点，
∴EO∥BB₁．
又DA∥BB₁，且DA=EO=$\frac{1}{2}$BB₁．
∴四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA，DE?平面ABC．
∴DE∥平面ABC；
（II）解：∵BC是底面圆O的直径，∴CA⊥AB，
∴CA⊥平面AA₁B₁B，
∵E是CB₁的中点，
∴E到平面AA₁B₁B的距离=$\frac{1}{2}$CA=1，
∵D是CB₁的中点，且AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=2．
∴三棱锥A₁-B₁DE的体积=三棱锥E-A₁B₁D的体积=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及锥体的体积公式．