Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=PB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的点．
（Ⅰ）求证：平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅱ）当$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$时，求点E到平面PDC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中点N，连结MN、AN，证明四边形ADMN为平行四边形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅱ）当$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$时，E是BC的中点，DE=CE=2，利用V_P-CDE=V_E-PCD，求点E到平面PDC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取PB中点N，连结MN、AN，则
∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}$BC=2，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形ADMN为平行四边形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，
∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，
∴平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：∵$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴E是BC的中点，∴DE=CE=2，
△PDC中，PD=CD=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴S_△PDC=2$\sqrt{3}$，
设点E到平面PDC的距离为h．则
∵V_P-CDE=V_E-PCD，
∴$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2×2=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点E到平面PDC的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．