Question

（2013•鹰潭一模）定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至多三个零点，则a的取值范围是（　　）

• A．（

  5

  5

  ，1）
• B．（

  5

  5

  ，1）∪（1，+∞）
• C．（0，

  5

  5

  ）
• D．（

  3

  3

  ，1）

Answer 1

分析：先利用函数是偶函数求出，f（1），进而得到函数的周期性，然后利用函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象，利用f（x）与log_a（|x|+1）的图象关系确定取值范围．

解答：解：因为函数f（x）是偶函数，所以令x=-1得，f（-1+2）=f（-1）-f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），即函数的周期是2．
由y=f（x）-log_a（|x|+1）=0得f（x）=log_a（|x|+1），令y=f（x），y=log_a（|x|+1），当x＞0时，y=log_a（|x|+1）=log_a（x+1），函数过点（0，0）．
若a＞1，则由图象可知，此时数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上没有零点，所以此时此时满足条件．
若0＜a＜1，则由图象可知，要使两个函数y=f（x）与y=log_a（x+1），有三个交点，
则y=m（x）=log_a（x+1）不能过点B（4，-2），即m（4）＜-2，即log_a5＜-2，解得a＞

5

5

，此时

5

5

＜a＜1．
所以满足条件的a的取值范围a＞1或

5

5

＜a＜1．
故选B．

点评：本题考查了函数与方程以及函数零点个数问题，解决此类问题的基本方法是利用数形结合，将函数零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题．