Question

（2013•鹰潭一模）A﹑B﹑C是直线l上的三点，向量

OA

﹑

OB

﹑

OC

满足：

OA

-[y+2f'（1）]•

OB

+ln（x+1）•

OC

=

0

；
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；          
（Ⅱ）若x＞0，证明f（x）＞

2x

x+2

；
（Ⅲ）当

1

2

x2≤f(x2)+m2-2bm-3时，x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）将条件可变形为

OA

=[y+2f′(1)]

OB

-ln(x+1)

OC

，根据A﹑B﹑C三点共线，整理我们可得y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1），求出f′(1)=

1

2

，可得函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-

2x

x+2

，证明函数g（x）在 （0，+∞）上是增函数，从而有g（x）＞g（0）=0，即可证得；
（III）原不等式等价于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2bm-3，要使x∈[-1，1]恒成立，我们可以求出左边的最大值，从而将问题转化为m²-2bm-3≥[h（x）]_max=0，构造一次函数令Q（b）=m²-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，则有Q（1）≥0及Q（-1）≥0，从而得解．

解答：解：（I）由三点共线知识，
∵

OA

-[y+2f′(1)]

OB

+ln(x+1)

OC

=

0

，∴

OA

=[y+2f′(1)]

OB

-ln(x+1)

OC

，
∵A﹑B﹑C三点共线，
∴[y+2f'（1）]+[-ln（x+1）]=1
∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1）．
∴f′(x)=

1

x+1

∴f′(1)=

1

2

，
∴f（x）=ln（x+1）…4分
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-

2x

x+2

，
由g′(x)=

x2

(x+1)(x+2)2

，
∵x＞0，∴g'（x）＞0
∴g（x）在 （0，+∞）上是增函数，
故g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞

2x

x+2

；…8分
（III）原不等式等价于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2bm-3，令
h（x）=

1

2

x2-f(x2)=

1

2

x2-ln(1+x2)，由h′(x)=

x3-x

1+x2

，
当x∈[-1，1]时，[h（x）]_max=0，
∴m²-2bm-3≥0，
令Q（b）=m²-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，则有Q（1）≥0及Q（-1）≥0
即

m2-2m-3≥0 m2+2m-3≥0

，解得m≤-3或m≥3．…12分．

点评：本题以向量为载体，考查三点共线的充要条件，考查构造法，利用函数的单调性证明不等式，同时考查恒成立问题的处理，其中构造函数，利用求函数的最值研究恒成立问题是解题的关键．