Question

如图，矩形ABCD中，AB=a，AD=b，过点D作DE⊥AC于E，交直线AB于F．现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置，使二面角P-AC-B的大小为60°．过P作PH⊥EF于H．
（I）求证：PH⊥平面ABC；
（Ⅱ）若a=

2

b，求直线DP与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）若a+b=2，求四面体P-ABC体积的最大值．

Answer 1

分析：（I）证明AC⊥平面PEF，可得平面PEF⊥平面ABC，利用面面垂直的性质，可得PH⊥平面ABC；
（II）以D为原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，DA的长度为单位长度，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线DP与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）表示出四面体P-ABC体积，根据a+b=2，利用基本不等式，即可求四面体P-ABC体积的最大值．

解答：（I）证明：∵AC⊥PE，AC⊥EF，又PE∩EF=E，∴AC⊥平面PEF，
∵AC?平面ABC，∴平面PEF⊥平面ABC，
∵平面PEF∩平面ABC=EF，PH⊥EF，PH?平面PEF，
∴PH⊥平面ABC．
（II）解：∵PE⊥AC，EF⊥AC
∴∠PEF为二面角P-AC-B的平面角，∴∠PEF=60°
∴EH=

1

2

PE=

1

2

DE，PH=

3

2

DE，DH=

3

2

DE
以D为原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，DA的长度为单位长度，建立空间直角坐标系，则DC=

2

，A（1，0，0），B（1，

2

，0），C（0，

2

，0）
∴AC=

3

，DE=

DA•DC

AC

=

6

3

，
∴DH=

3

2

DE=

6

2

，PH=

3

2

DE=

2

2

作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N
∵∠ADF=∠DCA
∴HM=DHsin∠ADF=DHsin∠DCF=

2

2

，DM=

DH2-HM2

=1
∴H（1，

2

2

，0），P（1，

2

2

，

2

2

）
∴

BP

=(0，-

2

2

，

2

2

)，

CP

=(1，-

2

2

，

2

2

)
设平面PBC的法向量为

n

=（x，y，z），则由

n • BP =0 n • CP =0

，可得

- 2 2 y+ 2 2 z=0 x- 2 2 y+ 2 2 z=0

∴可取

n

=（0，1，1）
设直线DP与平面PBC所成角的大小为θ，则sinθ=|

n • DP

| n || DP |

|=

2

2

∴θ=45°
∴直线DP与平面PBC所成角的大小为45°；
（III）PE=DE=

ab

a2+b2

，∴PH=

3

2

DE=

3 ab

2 a2+b2

∴VP-ABC=

1

3

•

1

2

AB•BC•PH=

3

12

•

a2b2

a2+b2

∵a+b=2
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=4-2ab
由ab≤(

a+b

2

)2=1，当且仅当a=b=1时，（ab）_max=1
∴V=

3

12

•

a2b2

a2+b2

=

3

12

•

a2b2

(a+b)2-2ab

=

3

12

•

a2b2

4-2ab

≤

3

12

•

1

4-2

=

6

24

即当且仅当a=b=1时，四面体P-ABC体积的最大值为

6

24

．

点评：本题考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，考查四面体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度大．