Question

若以曲线y=x³+bx²+4x+c（c为常数）上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x₀处的导数，从而求出切线的斜率，则

1

3

x₀²+2bx₀+4＞0对?x₀∈R恒成立，然后利用判别式进行求解即可．

解答： 解：设点（x₀，y₀）为曲线y=x³+bx²+4x+c上的任意一点，
则该点处的切线斜率为k=

1

3

x₀²+2bx₀+4；
∴由已知得

1

3

x₀²+2bx₀+4≥0对?x₀∈R恒成立；
∴△=4b²-

16

3

≤0，解得-

2 3

3

≤b≤

2 3

3

，
故答案为：[-

2 3

3

，

2 3

3

]．

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，同时考查了转化与化归的思想，属于中档题．