Question

已知a为实数，x=4是函数f（x）=alnx+x²-12x的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有且仅有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对f（x）进行求导，根据x=4是函数f（x）=alnx+x²-12x的一个极值点，可得f′（4）=0，求出a的值；
（Ⅱ）把a的值代入f（x），并求出其导数，利用导数求出其单调区间，注意定义域；
（Ⅲ）根据f（x）的单调区间，我们可以画出f（x）的草图，利用数形结合的方法进行求解；

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=alnx+x²-12x，
∴f′（x）=

a

x

+2x-12，
∵x=4是函数f（x）=alnx+x²-12x的一个极值点，
∴f′（4）=0，得

a

4

+8-12=0，得a=16；
（Ⅱ）当a=16时，f（x）=16lnx+x²-12x，f′（x）=

16

x

+2x-12=

2(x-2)(x-4)

x

，
当f′（x）＞0时，可得x＞4或者0＜x＜2；
当f′（x）＜0时，可得2＜x＜4；
∴函数f（x）的单调增区间为：（4，+∞），（0，2）；
函数f（x）的单调减区间为：（2，4）；
（Ⅲ）直线y=b与函数y=f（x）的图象有且仅有3个交点，f（4）=16ln4-32，f（2）=16ln2-20，
由（Ⅱ）知f（x）在x=2出去极大值，在x=4出取极小值，
画出f（x）的草图：
直线y=b与函数y=f（x）的图象有且仅有3个交点，
∴直线y=b必须在直线l和直线n之间，
∴f（4）＜b＜f（2），
即161n4-32＜b＜16ln2-20，；

点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，还考查了数形结合的方法，将复杂的问题简单化；