Question

已知a为实数,f(x)=(x²-4)(x-a).

(1)求导数f′(x);

(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值;

(3)若f(x)在(-∞,-2］和［2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.

Answer 1

分析:本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能力.

解:

(1)由原式得f(x)=x³-ax²-4x+4a,

∴f′(x)=3x²-2ax-4.

(2)由f′(-1)=0得a=,

此时有f(x)=(x²-4)(x),f′(x)=3x²-x-4.

由f′(x)=0得x=或x=-1,

又f()=,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,

∴f(x)在［-2,2］上的最大值为,最小值为.

(3)方法一:f′(x)=3x²-2ax-4的图像为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得f′(-2)≥0,f′(2)≥0,

即∴-2≤a≤2.

∴a的取值范围为［-2,2］.

方法二:令f′(x)=0,即3x²-2ax-4=0,

由求根公式,得x₁,2=(x₁＜x₂),

∴f′(x)=3x²-2ax-4在(-∞,x₁］和［x₂,+∞)上非负.

由题设可知,当x≤-2或x≥2时,f′(x)≥0,从而x₁≥-2,x₂≤2,

即

解不等式组得-2≤a≤2,

∴a的取值范围是［-2,2］.