Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0）．
（1）求此椭圆的标准方程．
（2）若过点F且倾斜角为

3π

4

的直线与此椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0），求出a，b，即可求此椭圆的方程；
（2）过点F且倾斜角为

3π

4

的直线方程为y=-（x-1），与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求|AB|的值．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0），
∴c=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，
∴b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（2）过点F且倾斜角为

3π

4

的直线方程为y=-（x-1），代入椭圆方程，可得2x²-3x=0，∴x=0或x=

3

2

，
∴|AB|=

2

×

3

2

=

3

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．