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    【题目】从集合的所有非空子集中，等可能地取出个．

    （1）若，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；

    （2）若，记所取子集的元素个数之差为，求的分布列及数学期望．

    【答案】(1) .

    (2) 分布列见解析，.

    【解析】分析：（1）集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为

    奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，由古典概型概率公式可得结果；（2）当时，的所有可能取值为，由组合知识，利用古典概型概率公式可得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．

    详解：（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.

    则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为

    奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，

    所以，

    （2）当时，的所有可能取值为

    则

    所以的数学期望.

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    【题目】设定义域为R的函数．

    （1）在平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；

    （2）若方程f（x）+5a＝0有两个解，求出a的取值范围（不需严格证明，简单说明即可）；

    （3）设定义域为R的函数g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式．

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    【题目】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

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    【题目】已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为，

    （1）若直线上不存在点，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；

    （2）在（1）的条件下，当取最大值时，点坐标为，设是椭圆上的三点，且，求：以线段的中心为原点，过两点的圆方程.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：

    月份

    广告投入量

    收益

    他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：

    （Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

    （Ⅱ）残差绝对值大于的数据被认为是异常数据，需要剔除：

    （ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；

    （ⅱ）若广告投入量时，该模型收益的预报值是多少？

    附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

    ，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点到抛物线焦点的距离为．

    （1）求的值；

    （2） 设是抛物线上异于的两个不同点，过作轴的垂线，与直线交于点，过作轴的垂线，与直线交于点，过作轴的垂线，与直线分别交于点．

    求证：①直线的斜率为定值；

    ②是线段的中点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了解本届高二学生对文理科的选择与性别是否有关，现随机从高二的全体学生中抽取了若干名学生，据统计，男生35人，理科生40人，理科男生30人，文科女生15人。

    (1)完成如下2×2列联表，判断是否有99.9%的把握认为本届高二学生“对文理科的选择与性别有关”？

    男生

    女生

    合计

    文科

    理科

    合计

    (2)已采用分层抽样的方式从样本的所有女生中抽取了5人，现从这5人中随机抽取2人参加座谈会，求抽到的2人恰好一文一理的概率。

    0.15

    0.10

    0.05

    0.01

    0.005

    0.001

    k

    2.072

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

    （参考公式，其中为样本容量）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.

    （1）证明：；

    （2）若点为线段的中点，平面平面，求二面角的余弦值.

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    【题目】已知函数.

    （1）当时，求证：在上是单调递减函数；

    （2）若函数有两个正零点、，求的取值范围，并证明：.

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