Question

【题目】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ ）（Ⅱ）直线恒过点

【解析】分析: （Ⅰ）由题意布列关于a，b的方程组，解之即可；（Ⅱ）设直线，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系表示直线的斜率之积为，可得值，从而得证.

详解: （Ⅰ）依题意：，解得，即椭圆；

（Ⅱ）设直线，

则，

即，

；

设，而，则由得

,

，

即，

整理得，解得或（舍去）

直线，知直线恒过点．

点睛: 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.