Question

【题目】设定义域为R的函数．

（1）在平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；

（2）若方程f（x）+5a＝0有两个解，求出a的取值范围（不需严格证明，简单说明即可）；

（3）设定义域为R的函数g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】（1）函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1）,图象见解析

（2）

（3）

【解析】

（1）作出函数f（x）的图象，由图象即可观察得出；

（2）方程f（x）+5a＝0有两个解，等价于函数f（x）的图象与直线有两个交点，由图即可求出；

（3）先求出x≥0时，g（x）的解析式，再根据偶函数的性质，求出x＜0时，g（x）

的解析式，即可求出定义在上的g（x）的解析式．

（1）作出函数f（x）的图象，如图所示：

函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1）．

（2）要使方程f（x）+5a＝0有两个解，等价于函数f（x）的图象与直线有两个交点，由图可知，﹣5a≥1，解得．故实数a的取值范围为；

（3）由题意，当x＝0时，g（x）＝0，当x＞0时，g（x）＝x2﹣2x+1，

设x＜0，则﹣x＞0，故g（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）+1＝x2+2x+1，

又函数g（x）为偶函数，故g（x）＝g（﹣x）＝x2+2x+1（x＜0），

综上，函数g（x）的解析式为．