Question

19．盒中共有9个球，其中红球、黄球、篮球各3个，这些球除颜色完全相同，从中一次随机抽取n个球（1≤n≤9）．
（1）当n=3时，记“抽取的三个小球恰有两个小球颜色相同”为事件A，求P（A）；
（2）当n=4时，用随机变量X表示抽到的红球的个数，求X的概率分布和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由已知利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的三个小球恰有两个小球颜色相同的概率．
（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布和数学期望E（X）．

解答 解：（1）$P（A）=\frac{C_3^1C_3^2C_6^1}{C_9^3}=\frac{9}{14}$．…（4分）
（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3．
$P（X=0）=\frac{C_6^4}{C_9^4}=\frac{5}{42}$，
$P（X=1）=\frac{C_3^1C_6^3}{C_9^4}=\frac{10}{21}$，
$P（X=2）=\frac{C_3^2C_6^2}{C_9^4}=\frac{5}{14}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^3C_6^1}{C_9^4}=\frac{1}{21}$．…（12分）
∴随机变量X的概率分布为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

因此随机变量X的数学期望$E（X）=0×\frac{5}{42}+1×\frac{10}{21}+2×\frac{5}{14}+3×\frac{1}{21}=\frac{4}{3}$．…（16分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．