Question

设函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，求得 c=0，即f(x)=

ax2+1

bx

．再由f（1）=2、f（2）＜3，a∈N，求得a，b，的值，从而得到a，b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．设x₁＜x₂≤-1，则由f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＜0，从而得到 f（x）
在（-∞，-1]上单调递增．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数得：f（-x）+f（x）=0，∴

ax2+1

bx+c

+

ax2+1

-bx+c

=0，∴(ax2+1)

2c

(bx+c)(-bx+C)

=0，
解得 c=0，即f(x)=

ax2+1

bx

．
又f（1）=2，∴2=

a+1

b

  ， 2b=a+1．
又 f（2）＜3，可得

4a+1

2b

＜3，

4a+1

a+1

＜3，∴-1＜a＜2，
∵a∈N，∴a=0或1．
若a=0，则b=

1

2

∉N（舍去），∴a=b=1，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
下用定义证明：设x₁＜x₂≤-1，则：f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)，
因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题．