Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，且E，F分别是BC，B1C1中点．

（1）求证：A1B∥平面AEC1；

（2）求直线AF与平面AEC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

(1) 连接交于点,连接再证明即可.

(2) 作于,连接,再证明即为直线与平面所成角再求解即可.

证明：（1）连接A1C交AC1于点O,连接EO

∵ACC1A1为正方形,∴O为A1C中点,

又E为CB中点,∴EO为△A1BC的中位线,

∴EO∥A1B,

又EO平面AEC1,A1B平面AEC1,

∴A1B∥平面AEC1.

解：（2）作FM⊥EC1于M,连接AM,

∵AB＝AC,E为BC的中点,

∴AE⊥BC,

又∵平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC⊥平面BCC1B1＝BC,

AE平面ABC,∴AE⊥平面BCC1B1,

而AE平面AEC1,

∴平面AEC1⊥平面BCC1B1,∴FM⊥平面AEC1,

∴∠FAM即为直线AF与平面AEC1所成角,

设AB＝AC＝AA1＝1,

则在Rt△AFM中,

在中,,,

因为,所以,解得,

在中,,故,

∴直线AF与平面AEC1所成角的正弦值sin∠FAM.