Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

（x∈R，ω＞0）
（1）求f（x）的值域；
（2）若f（x₁）=f（x₂）=0，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，求f（x）的递增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换，求得f（x）=2sin（ωx-

π

6

）-1，可得它的值域．
（2）由题意可得

T

2

=

π

ω

=

π

2

，求得ω=2，f（x）=2sin（ωx-

π

6

）-1．令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得f（x）的递增区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

+sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-cosωx-1
=

3

sinωx-cosωx-1=2sin（ωx-

π

6

）-1，
显然它的值域为[-3，1]．
（2）由f（x₁）=f（x₂）=0，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，可得

T

2

=

π

ω

=

π

2

，∴ω=2，
故f（x）=2sin（ωx-

π

6

）-1．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
可得f（x）的递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的值域、周期性以及单调性，属于中档题．