Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=x²-3x+4；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=cos

π

2

x；
④f（x）=e^x．
其中存在“稳定区间”的函数有

 

 （填出所有满足条件的函数序号）．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：利用“稳定区间”的函数的性质，分别对四个选项依次进行讨论，由此能求出结果．

解答： 解：对于①，f（x）=x²-3x+4是以x=

3

2

为对称轴、开口向上的抛物线，
存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，
∴①不存在“稳定区间”．
对于②，f（x）=|2^x-1|，
当区间M=[-1，1]时，
最小值为f（-1）=-1且最大值为f（1）=1，
因此函数的值域为[-1，1]=M，符合题意，
∴②存在“稳定区间”；
对于③，f（x）=|2^x-1|，在区间[0，1]上的值域也是[0，1]，
∴②存在“稳定区间”；
对于③，f（x）=cos

π

2

x，
∵函数在（0，1）上是减函数，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos

π

2

=0
∴当区间M=[0，1]时，可得函数的值域为=M，
∴③存在“稳定区间”；
对于④，因为f（x）=e^x是R上的增函数，
且e^x＞x恒成立，故不存在区间M=[a，b]使得当x∈M时值域恰好是M
∴④不存在“稳定区间”．
故答案为：②③．

点评：本题考查存在“稳定区间”的函数的判断，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．