Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2a_n-S_n=1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列{a_n}的第两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{b_n}；a_n和a_n+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，求b₁₀₀的值．
（3）对于（2）中的数列{b_n}，若b_m=a₁₀₀，求m的值，并求b₁+b₂+b₃+…+b_m．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先根据递推关系求出数列的通项公式．
（2）利用dn=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

，进一步求出求解．
（3）利用等量令：M=3a₁+5a₂+7a₃+…+201a₁₀₀，则：2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+201a₁₀₁
2M-M=-2（a₁+a₂+…+a₁₀₀）-a₁+201a₁₀₀，求出结果．

解答： 解：（1）根据已知条件：2a_n-S_n=1，
则：2a_n+1-S_n+1=1
两式相减得到：a_n+1=2a_n
所以：

an+1

an

=2
当n=1时，a₁=1
所以数列{a_n}是以a₁为首，2为公比的等比数列
求得：an=2n-1
（2）在数列{a_n}的第两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{b_n}；a_n和a_n+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，设公差为d_n
dn=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

又由于：1+2+…+13=91，100-91=9
故：b100=a13+9dn=212+9•

212

14

=

23

7

•211
（3）由于：b_m=a₁₀₀，
则：m=1+2+3+…+100=5050
故：b₁+b₂+…+b₅₀₅₀=

3(a1+a2)

2

+

4(a2+a3)

2

+…+

101(a99+a100)

2

-（a₂+a₃+…+a₉₉）
=

1

2

[3a1+5a2+…+201a100]-50a100
考虑到：a_n+1=2a_n
令：M=3a₁+5a₂+7a₃+…+201a₁₀₀
则：2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+201a₁₀₁
2M-M=-2（a₁+a₂+…+a₁₀₀）-a₁+201a₁₀₀
解得M=199•2¹⁰⁰+1
所以：b₁+b₂+…+b₅₀₅₀=

1

2

M-50a100=149•299+

1

2

点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，通项公式的应用，及相关的变换问题．属于中等题型．