Question

P是双曲线

x2

8

-y²=1上一点，M，N为双曲线的两个焦点．
（1）当∠MPN=

π

3

时，求△MPN的面积；
（2）当∠MPN为锐角时，求P的横坐标x_p的范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用双曲线的定义和余弦定理及面积公式，即可求得；
（2）设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠MPN是锐角推断出PM²+PN²＞MN²，代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x_p的范围．

解答： （1）解：∵双曲线的标准方程为：

x2

8

-y²=1，
∴a=2

2

，b=1，c=3．
又∵P为双曲线上一点，∠MPN=

π

3

，M，N为双曲线的两个焦点，
∴||PM|-|PN||=2a=4

2

，|MN|=6，
∴|MN|²=（|PM|-|PN|）²+2|PM||PN|-2|PM|•|PN|cos

π

3

，
=32+|PM|•|PN|=36，
∴|PM|•|PN|=4．
∴S_△MPN=

1

2

|PM|•|PN|sin

π

3

=

3

；
（2）设p（x，y），则 M（-3，0），N（3，0），
且∠MPN是钝角，PM²+PN²＞MN²，即（x+3）²+y²+（x-3）²+y²＞36，
即x²+y²＞9，即x²+（

x2

8

-1）＞9，
即x²＞

80

9

．
即x＜-

4 5

3

，或x＞

4 5

3

．
故点P的横坐标x_p的取值范围为（-∞，-

4 5

3

）∪（

4 5

3

，+∞）

点评：本题主要考查了双曲线的定义和方程及简单性质和解不等式，考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．