已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))
处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N+),其中x1为正实数.
(1)用xn表示xn+1;
(2)求证:对一切正整数n,xn+1≤xn的充要条件是x1≥2;
(3)若x1=4,记an=lg ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.
(1)xn+1=(2)见解析(3)xn=
【解析】(1)由题意可得f′(x)=2x,
所以过曲线上点(xn,f(xn))的切线方程为
y-f(xn)=f′(xn)(x-xn),即y-(-4)=2xn(x-xn).
令y=0,得-(-4)=2xn(xn+1-xn).
即+4=2xnxn+1.显然xn≠0,∴xn+1=.
(2) (必要性)若对一切正整数n,有xn+1≤xn,则x2≤x1,
即≤x1,∴≥4.而x1>0,即有x1≥2.
(充分性)若x1≥2>0,由xn+1=,
用数学归纳法易得xn>0,从而xn+1=≥2=2(n≥1),
即xn≥2(n≥2).又x1≥2,∴xn≥2(n≥1).
于是xn+1-xn=-xn==≤0. ?
即xn+1≤xn对一切正整数n成立.
(3) xn+1=,知xn+1+2=,
同理,xn+1-2=.故=()2.
从而lg=2lg,即an+1=2an.所以,数列{an}成等比数列,
故an=2n-1a1=2n-1·lg =2n-1lg 3,
即lg =2n-1lg 3.从而=32n-1,所以xn=.
科目:高中数学 来源:2015届辽宁省沈阳市高二质量监测理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则∠C=( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁大连普通高中高二上学期期末考试理数学卷(解析版) 题型:选择题
已知是椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若的周长为,则椭圆方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁大连普通高中高二上学期期末考试文数学卷(解析版) 题型:选择题
.可导函数在闭区间的最大值必在( )取得
(A)极值点 (B)导数为0的点
(C)极值点或区间端点 (D)区间端点
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标6章末练习卷(解析版) 题型:填空题
设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成
等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________,成等比数列.
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标6章末练习卷(解析版) 题型:选择题
下列推理是归纳推理的是( ).
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标6.2练习卷(解析版) 题型:选择题
以下各数不能构成等差数列的是 ( )
A.4,5,6 B.1,4,7
C.,, D.,,
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