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已知函数f(x)x24,设曲线yf(x)在点(xnf(xn))

处的切线与x轴的交点为(xn1,0)(nN),其中x1为正实数.

(1)xn表示xn1

(2)求证:对一切正整数nxn1xn的充要条件是x1≥2

(3)x14,记anlg ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.

 

1xn12)见解析(3xn

【解析】(1)由题意可得f′(x)2x

所以过曲线上点(xnf(xn))的切线方程为

yf(xn)f′(xn)(xxn),即y(4)2xn(xxn)

y0,得-(4)2xn(xn1xn)

42xnxn1.显然xn≠0xn1.

(2) (必要性)若对一切正整数n,有xn1xn,则x2x1

x1≥4.x1>0,即有x1≥2.

(充分性)x1≥2>0,由xn1

用数学归纳法易得xn>0,从而xn1≥22(n≥1)

xn≥2(n≥2).又x1≥2xn≥2(n≥1)

于是xn1xnxn≤0. ?

xn1xn对一切正整数n成立.

(3) xn1,知xn12

同理,xn12.()2.

从而lg2lg,即an12an.所以,数列{an}成等比数列,

an2n1a12n1·lg 2n1lg 3

lg 2n1lg 3.从而32n1,所以xn.

 

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