Question

已知圆：.

（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;

（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

Answer 1

（1）直线方程为

（2）∴点的轨迹方程是，轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点。

解析:

（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，

与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意………  2分

②若直线不垂直于轴，设其方程为，

即   …………………………………………………… 3分

设圆心到此直线的距离为，则，得

∴，，        

故所求直线方程为  ……………………………………5分

综上所述，所求直线为或  ……………………  6分

（Ⅱ）设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是   ……  7分

∵，∴  即，  …………9分

又∵，∴ ……………………………   10分

由已知，直线m ∥ox轴，所以，，…………………………… 11分

∴点的轨迹方程是，……………………  12分

轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，

并去掉两点。