Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x∈R均有f（x-1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=2x-1，则f（log

1

2

6）=

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性,对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中对任意实数x∈R均有f（x-1）=f（x+1），可得：函数f（x）是周期为2的周期函数，又由log

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2

6∈（-3，-2），可得：log

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6+2∈（-1，0），即-log

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2

6-2∈（0，1），故f（log

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6）=f（log

1

2

6+2）=-f（-log

1

2

6-2），利用对数的运算性质化简可得答案．

解答： 解：∵对任意实数x∈R均有f（x-1）=f（x+1），
故f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵log

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6∈（-3，-2），
∴log

1

2

6+2∈（-1，0），
∴-log

1

2

6-2∈（0，1），
∴f（log

1

2

6）=f（log

1

2

6+2）=-f（-log

1

2

6-2）=-[2（-log

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2

6-2）-1]=2log

1

2

6+5=3-2log₂3，
故答案为：3-2log₂3

点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，函数的奇偶性，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．