Question

如图，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，又PED交圆O于E，D，且DE=

4 7

7

，则△OPD的面积为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：在△ODE中，由余弦定理先求出cos∠EDO=

2 7

7

，在△POD中即有cos∠EDO=

PD2+OD2-OP2

2×DO×PD

=

PD2+1-22

2PD

=

2 7

7

，从而可求出PD，故由海伦公式可求△OPD的面积．

解答： 解：已知，OE=OD=OB=1，DE=

4 7

7

，在△ODE中，由余弦定理知，cos∠EDO=

DO2+DE2-OE2

2×DO×DE

=

2 7

7

OB=PB=1，OP=2
在△POD中，有cos∠EDO=

PD2+OD2-OP2

2×DO×PD

=

PD2+1-22

2PD

=

2 7

7

上式可化为PD2-

4 7

7

PD-3=0，解得PD=

7

或者-

3 7

7

（舍去），
在△POD中，由海伦公式得P=

OD+OP+DP

2

=

3+ 7

2

S_△OPD=

p(p-OD)(p-OP)(p-PD)

=

3+ 7 2 × 1+ 7 2 × 7 -1 2 × 3- 7 2

=

3 4

=

3

2

故答案为：

3

2

．

点评：本题考察了余弦定理，海伦公式的综合应用，考察计算能力，属于中档题．