Question

在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线C，直线过点且与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在；最大值为

试题分析：该题考察曲线方程的求法、直线和椭圆的位置关系、函数的最大值，考察数形结合、综合分析问题和解决问题的能力.（Ⅰ）由已知曲线是以为焦点的椭圆，且，故曲线的方程为；（Ⅱ）设过点的直线方程为： ，将它与椭圆：联立，可得，设，，然后根据韦达定理代入，可得关于的函数，再求其最大值即可.

试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．                                                  
故曲线的方程为．                        4分
（Ⅱ）存在△面积的最大值.
因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）．
则
整理得 ．                             7分
由．
设．
解得 ， ．
则 ．
因为．                10分  
设，，．
则在区间上为增函数．
所以．
所以，当且仅当时取等号，即．
所以的最大值为．                          12分