Question

如图，A,B是椭圆的两个顶点, ，直线AB的斜率为．求椭圆的方程；（2）设直线平行于AB，与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D，
证明：的面积等于的面积．

Answer 1

（1）;（2）证明略.

试题分析：（1）根据条件表示A、B两点，得到，，联立即可求出a,b；（2）先设出直线的方程，与椭圆联立，消y，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系得到，而，，由直线：，求，得，所以.
试题解析：（1）解：依题意，，，，
整理得                          2分
解得 ，．                            3分
所以 椭圆的方程为．                       4分
（2）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得．    6分
设，．
所以     8分
证法一：记△的面积是，△的面积是．
由，，
则      10分
因为 ，所以 ， 13分
从而．                      14分
证法二：记△的面积是，△的面积是．
则线段的中点重合．       10分
因为 ，所以 ，．
故线段的中点为．                           
因为 ，，所以 线段的中点坐标亦为．  13分
从而．                    14分